Βελτιστοποίηση τεχνικών εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων εμπρόσθιας τροφοδότησης για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Abstract

Οι Διαφορικές Εξισώσεις αποτελούν μαθηματικά εργαλεία για τη μοντελοποίηση πληθώρας προβλημάτων τα οποία περιέχουν ποσότητες που μεταβάλλονται και τα οποία συναντώνται σε πολλούς τομείς όπως αυτούς της μηχανικής, της οικονομίας, της βιολογίας και της κοινωνιολογίας. Η εύρεση επομένως αποδοτικών μεθόδων επίλυσης, οι οποίες έχουν όσο το δυνατόν μικρότερο υπολογιστικό κόστος, καθίσταται αναγκαία. Μία αρκετά σύγχρονη μέθοδος για την επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων, είναι η χρήση Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων (ΤΝΔ). Στη συγκεκριμένη εργασία γίνεται μια προσπάθεια για τη βελτιστοποίηση τεχνικών εκπαίδευσης ΤΝΔ εμπρόσθιας τροφοδότησης για την επίλυση συγκεκριμένων κλάσεων Διαφορικών Εξισώσεων. Οι Διαφορικές Εξισώσεις που επιλύονται ανήκουν σε μία ιδιαίτερη κατηγορία προβλημάτων, αυτή των άκαμπτων προβλημάτων αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.), η οποία παρουσιάζει δυσκολίες στην επίλυση με τη χρήση κλασσικών μεθόδων. Επιπρόσθετα, επιλύονται άκαμπτα προβλήματα τα οποία περιέχουν παράμετρο ή οικογένεια παραμέτρων, η οποία επηρεάζει το πόσο άκαμπτο είναι το πρόβλημα. Από τα αποτελέσματα της έρευνας, προκύπτει το συμπέρασμα ότι η αρχιτεκτονική και η μέθοδος εκπαίδευσης των ΤΝΔ που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση των προαναφερθέντων προβλημάτων, παράγουν ικανοποιητικές προσεγγιστικές λύσεις, με πολύ καλές ιδιότητες γενίκευσης, όπως επίσης ότι μπορούν τα ΤΝΔ να εκπαιδευθούν ώστε να λυθούν κλάσεις τέτοιων προβλημάτων που εξαρτώνται από την παράμετρο.