Από τον Ευκλείδη στον Riemann: Ένα άλμα στην υπολογιστική όραση σε γεωμετρικούς χώρους

Abstract

Η παγκόσμια επιστημονική κοινότητα, μέχρι πρότινος, παραμένοντας πιστή στις κοινότυπες προσεγγίσεις των μεθόδων που χρησιμοποιούνται στην Μηχανική Μάθηση στηρίζεται στην υπόθεση ότι η δόμηση και κατά συνέπεια η επεξεργασία των δεδομένων θα πρέπει να υπόκειται σε πράξεις οι οποίες ορίζονται σε διανυσματικούς χώρους με πρωταρχική βάση την Ευκλείδεια γεωμετρία. Πορίσματα από πληθώρα ερευνών έχουν δείξει ότι ο επιστημονικός τομέας της Υπολογιστική Όραση επωφελείται από αναπαραστάσεις δεδομένων που είναι συμπαγείς, διακριτές, και εύρωστες. Εδώ λοιπόν εγείρεται το ακόλουθο ερώτημα: Μπορούμε να υποστηρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ότι τα δεδομένα, όπως αυτά συλλέγονται και επεξεργάζονται, ακολουθούν πιστά την Ευκλείδεια Γεωμετρία; Αν όχι, υπάρχει κάποιου είδους υποκείμενης γεωμετρικής δομής η οποία δρα συμπληρωματικά στην ήδη απλοϊκή φύση του Ευκλείδειου Γεωμετρικού χώρου ενισχύοντας τα μοντέλα Μηχανικής Μάθησης με επιπρόσθετη περιγραφικότητα οδηγώντας έτσι σε υψηλότερα επίπεδα ακρίβειας προβλέψεων; Μια πιθανή απάντηση είναι η χρήση Συμμετρικών Θετικά Ορισμένων πινάκων οι οποίοι αντιμετωπίζονται πιο φυσικά μέσω των εννοιών της διαφορικής γεωμετρίας που εμφανίζεται σε μη-Ευκλείδειους χώρους, όπως αυτός του Riemann. Στόχος της παρούσας διπλωματικής είναι να γίνει μια μελέτη σε αλγορίθμους μη επιβλεπόμενης μάθησης τόσο σε Ευκλείδειους όσο και σε Riemannian χώρους με την χρήση προγραμματιστικών εργαλείων όπως το MATLAB για εφαρμογές Υπολογιστικής Όρασης. Συγκεκριμένα, στον Ευκλείδειο χώρο μελετώνται οι αλγόριθμοι: α) Bag of Features, β) Spatial Pyramid Matching, γ) Fisher Kernels και δ) Vectors of Locally Aggregated Descriptors ενώ στον Riemannian χώρο μελετώνται τεχνικές αλγορίθμων που εκμεταλλεύονται την εγγενώς μη γραμμική φύση των πολλαπλοτήτων στις οποίες απαντώνται οι πίνακες συνδιακύμανσης. Οι τέσσερις αριθμημένοι αλγόριθμοι του Ευκλείδειου Χώρου δοκιμάζονται σε μια βάση εικόνων που περιέχουν σκηνές για την μελέτη της προοδευτικής αύξησης της ακρίβειας της τεχνικής της διανυσματικής αναπαράστασης των εικόνων ενώ οι αλγόριθμοι στον Riemannian Χώρο επεξεργάζονται εικόνες χειρόγραφων υπογραφών από μια δημοφιλή βάση με σκοπό την βιομετρική ταυτοποίησή τους. Όπου κατέστη δυνατό, εφαρμόζεται επιτάχυνση του λογισμικού για την μείωση του χρόνου λήψης αποτελεσμάτων στην υλοποίηση των αλγορίθμων χρησιμοποιώντας παράλληλη επεξεργασία και χρήση καρτών γραφικών.