Ανάλυση λεπτών πλακών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων

Abstract

Η διπλωματική αυτή έχει σκοπό την ανάλυση των ισότροπων ορθογώνιων λεπτών πλακών πάνω σε οποιαδήποτε στήριξη και επιβάλλοντας κατανεμημένα φόρτια σε διάφορα μέρη πάνω στην πλάκα. Για να μπορέσουμε να προσεγγίσουμε κάτι τέτοιο αφού είναι περίπλοκο. Η λύση επιτυγχάνεται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM) και με την μέθοδος των συνοριακών στοιχείων (Boundary Element Method, BEM). Στην εργασία η ανάλυση γίνεται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Αρχικά γίνεται μελέτη της θεωρίας των λεπτών πλακών και των εξισώσεών τους. Η συμπεριφορά της πλάκας μελετάται στους τρεις άξονες (x,y,z), όπου αναλύεται η διαφορική εξίσωση της πλάκας καθώς και οι υπόλοιπες εξισώσεις και η μεταξύ τους σχέση. Είναι βήματα απαραίτητα καθώς πρέπει να αναλυθεί ένα τυπικό στοιχείο της πλάκας, έτσι ώστε να μπορέσει υπάρξει λύση ακριβής καθώς είναι περίπλοκο πρόβλημα. Γίνετε ανάλυση ενός ορθογωνίου πεπερασμένου στοιχείου με τέσσερεις κόμβους, όπου ο κάθε κόμβος έχει τρείς βαθμούς ελευθερίας. Επομένως, σε κάθε τέτοιο στοιχείο προκύπτουν δώδεκα άγνωστοι. Σε αυτό το σημείο γίνεται επίλυση με την μέθοδο Lagrange σε δώδεκα συστήματα δώδεκα εξισώσεων. Όπου ανάλογα με τις συνθήκες διαμορφώνονται οι εξισώσεις στην προκειμένη περίπτωση, η παραγώγιση της βύθισης κάθε κόμβου ως προς την κατεύθυνση x και y αντίστοιχα δείχνουν την κλήση της κατεύθυνσης. Η αναλυτική επίλυση γίνεται στο πρόγραμμα Maple, που έχει την δυνατότητα να κάνει γρήγορα πολλές πράξεις και με εύκολο τρόπο. Πάνω σε αυτό το πρόγραμμα όπου έχει δυνατότητα εισαγωγής και εξαγωγής πίνακα λύνεται και το μητρώο στιβαρότητας της πλάκας, με βάση τις αναλυτικές εξισώσεις της πλάκας. Μέσω του προγράμματος Matlab έχει αναπτυχθεί κώδικας εφαρμογής της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση της πλάκας. Ο κώδικας εισάγει πίνακες από το Excel ως δεδομένα που μπαίνουν χειροκίνητα, τα δεδομένα αυτά είναι δεδομένη μετατόπιση κόμβων της πλάκας κατανεμημένη τάση με βάση δυο κόμβους, τις συντεταγμένες κόμβων και ιδιότητες υλικών. Στην συνέχεια και αφού γίνετε εισαγωγή από το Maple το μητρώο στιβαρότητας της πλάκας και κάποιες παραγωγίσεις όπου χρειάζονται με βάση τις εξισώσεις για να γίνει επεξεργασία ώστε να βγουν τα αποτελέσματα. Με το που γίνει η επεξεργασία τα αποτελέσματα (τάσεις μετατοπίσεις ροπές δυνάμεις) γράφονται στα επόμενα δυο φύλλα του Excel από όπου έγινε η εισαγωγή, κάνει και ένα σχέδιο τρισδιάστατο με την πλάκα και τις μετατοπίσεις